[미적분] 부분적분

부분적분이란?

두 함수의 곱으로 정의된 함수를 적분하는 기법이다.

 

 

미분 가능한 연속 함수 $f(x)$, $g(x)$에 대하여,

$\int f(x)g^\prime(x)dx = f(x)g(x)-\int f^\prime(x)g(x)dx$

$\int_{a}^{b} f(x)g^\prime(x)dx = \left [ f(x)g(x) \right ]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} f^\prime(x)g(x)dx$

이다.

 

위의 식을 유도하는 과정은 다음과 같다.

 

유도

부분적분식은 곱의 미분법에 의해 유도되는데, 

곱의 미분법에 따라 미분 가능한 두 함수 $f(x)g(x)$를 미분하면

 

$\{f(x)g(x)\}^\prime = f^\prime(x)g(x) + f(x)g^\prime(x)$

 

양 변을 $x$에 대해서 적분하면

 

$f(x)g(x) = \int f^\prime(x)g(x)dx + \int f(x)g^\prime(x)dx$

 

따라서

$\int f(x)g^\prime(x)dx = f(x)g(x)-\int f^\prime(x)g(x)dx$

 

가 되는것이다.

 

 

$f$, $g^\prime$ 선택법

부분적분 문제를 풀다 보면 $f$와 $g^\prime$으로 어떤 부분을 사용할지 선택하는 순간이 찾아온다.

이 부분을 잘 선택해야 계산이 깔끔하게 떨어지고, 어떤 경우는 선택이 잘못되었을 때 해답을 못찾는 경우도 있다.

 

$f$와 $g^\prime$를 잘 선택하기 위해선 로다삼지만 기억하면 된다.

 

로그함수, 다항함수, 삼각함수, 지수함수 순으로 f(x)를 설정하면 쉽게 부분적분 문제를 해결할 수 있다.